Các công thức tính diện tích tam giác

Ứng dụng

Hình 3 – Ứng dụng của định lý cos: tìm cạnh chưa biết và góc chưa biết.

Định lý cos được dùng trong phép đạc tam giác để giải một tam giác hoặc một đường tròn. Ví dụ trong Hình 3, định lý cos được dùng để tìm:

cạnh thứ ba của một tam giác nếu đã biết hai cạnh còn lại và góc giữa chúng:

{\displaystyle \,c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }}\,;}{\displaystyle \,c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }}\,;}

ba góc nếu biết ba cạnh của tam giác

{\displaystyle \,\gamma =\arccos \left({\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\right)\,;}{\displaystyle \,\gamma =\arccos \left({\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\right)\,;}

cạnh thứ ba nếu biết hai cạnh còn lại và góc đối diện một trong hai cạnh đó:

{\displaystyle \,a=b\cos \gamma \pm {\sqrt {c^{2}-b^{2}\sin ^{2}\gamma }}\,.}{\displaystyle \,a=b\cos \gamma \pm {\sqrt {c^{2}-b^{2}\sin ^{2}\gamma }}\,.}

Công thức thứ ba có được nhờ giải phương trình bậc hai a2 − 2ab cos γ + b2 − c2 = 0 với ẩn a. Phương trình này có hai nghiệm dương nếu b sin γ < c < b, một nghiệm dương nếu c ≥ b hoặc c = b sin γ, và vô nghiệm nếu c < b sin γ.

Chứng minh

Sử dụng công thức tính khoảng cách

Trong hệ tọa độ Descartes, cho tam giác ABC có ba cạnh a, b, c và γ là góc đối diện cạnh c với tọa độ ba đỉnh lần lượt là

{\displaystyle A=(b\cos \gamma ,\ b\sin \gamma ),\ B=(a,\ 0),\ C=(0,\ 0)\,.}{\displaystyle A=(b\cos \gamma ,\ b\sin \gamma ),\ B=(a,\ 0),\ C=(0,\ 0)\,.}

Sử dụng công thức tính khoảng cách, ta có

{\displaystyle c={\sqrt {(a-b\cos \gamma )^{2}+(0-b\sin \gamma )^{2}}}\,.}{\displaystyle c={\sqrt {(a-b\cos \gamma )^{2}+(0-b\sin \gamma )^{2}}}\,.}

do đó

{\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&{}=(a-b\cos \gamma )^{2}+(-b\sin \gamma )^{2}\\c^{2}&{}=a^{2}-2ab\cos \gamma +b^{2}\cos ^{2}\gamma +b^{2}\sin ^{2}\gamma \\c^{2}&{}=a^{2}+b^{2}(\sin ^{2}\gamma +\cos ^{2}\gamma )-2ab\cos \gamma \\c^{2}&{}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma \,.\end{aligned}}}{\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&{}=(a-b\cos \gamma )^{2}+(-b\sin \gamma )^{2}\\c^{2}&{}=a^{2}-2ab\cos \gamma +b^{2}\cos ^{2}\gamma +b^{2}\sin ^{2}\gamma \\c^{2}&{}=a^{2}+b^{2}(\sin ^{2}\gamma +\cos ^{2}\gamma )-2ab\cos \gamma \\c^{2}&{}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma \,.\end{aligned}}}

Công thức này sử dụng được cả trường hợp tam giác nhọn và tam giác tù.

Sử dụng công thức lượng giác

Hình 4 – Tam giác nhọn và đường cao

Hạ đường cao tương ứng với cạnh c như hình 4 ta có

{\displaystyle c=a\cos \beta +b\cos \alpha \,.}{\displaystyle c=a\cos \beta +b\cos \alpha \,.}

(Công thức trên vẫn đúng nếu α hoặc β là góc tù, khi đó đường cao nằm ngoài tam giác và cos α hoặc cos β mang dấu âm). Nhân hai vế với c ta được

{\displaystyle c^{2}=ac\cos \beta +bc\cos \alpha .\,}{\displaystyle c^{2}=ac\cos \beta +bc\cos \alpha .\,}

Tương tự ta có

{\displaystyle a^{2}=ac\cos \beta +ab\cos \gamma ,\,}{\displaystyle a^{2}=ac\cos \beta +ab\cos \gamma ,\,}

{\displaystyle b^{2}=bc\cos \alpha +ab\cos \gamma .\,}{\displaystyle b^{2}=bc\cos \alpha +ab\cos \gamma .\,}

Cộng vế theo vế hai phương trình sau ta có

{\displaystyle a^{2}+b^{2}=ac\cos \beta +bc\cos \alpha +2ab\cos \gamma .\,}{\displaystyle a^{2}+b^{2}=ac\cos \beta +bc\cos \alpha +2ab\cos \gamma .\,}

Trừ vế theo vế phương trình đầu ta có

{\displaystyle a^{2}+b^{2}-c^{2}=-ac\cos \beta -bc\cos \alpha +ac\cos \beta +bc\cos \alpha +2ab\cos \gamma \,}{\displaystyle a^{2}+b^{2}-c^{2}=-ac\cos \beta -bc\cos \alpha +ac\cos \beta +bc\cos \alpha +2ab\cos \gamma \,}

đơn giản còn

{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma .\,}{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma .\,}

Sử dụng định lý Pytago

Hình 5 – Tam giác tù ABC với đường cao BH

Trường hợp tam giác tù. Euclid chứng minh đinh lý bằng cách áp dụng Định lý Pytago cho hai tam giác vuông trong Hình 5. Đặt CH = d và BH = h, trong tam giác AHB ta có

{\displaystyle c^{2}=(b+d)^{2}+h^{2},\,}{\displaystyle c^{2}=(b+d)^{2}+h^{2},\,}

và trong tam giác CHB ta có

{\displaystyle d^{2}+h^{2}=a^{2}.\,}{\displaystyle d^{2}+h^{2}=a^{2}.\,}

Khai triển đa thức phương trình đầu tiên:

{\displaystyle c^{2}=b^{2}+2bd+d^{2}+h^{2}.\,}{\displaystyle c^{2}=b^{2}+2bd+d^{2}+h^{2}.\,}

thế phương trình thứ hai vào:

{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}+2bd.\,}{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}+2bd.\,}

Đây là mệnh đề 12 của Euclid trong tập 2 của bộ Cơ sở.[1] Chú ý rằng

{\displaystyle d=a\cos(\pi -\gamma )=-a\cos \gamma .\,}{\displaystyle d=a\cos(\pi -\gamma )=-a\cos \gamma .\,}

Trường hợp tam giác nhọn. Được chứng minh trong mệnh đề 13 của Euclid ngay sau mệnh đề 12: ông áp dụng Định lý Pytago cho hai tam giác vuông có được bằng cách kẻ đường cao tương ứng với một trong hai cạnh kề góc γ và đơn giản bằng nhị thức.

Hình 6 – Chứng minh bằng lượng giác trong trường hợp tam giác nhọn

Cách khác trong trường hợp tam giác nhọn. Dựa vào Hình 6 ta có:

{\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&{}=(b-a\cos \gamma )^{2}+(a\sin \gamma )^{2}\\&{}=b^{2}-2ab\cos \gamma +a^{2}\cos ^{2}\gamma +a^{2}\sin ^{2}\gamma \\&{}=b^{2}+a^{2}-2ab\cos \gamma ,\end{aligned}}}{\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&{}=(b-a\cos \gamma )^{2}+(a\sin \gamma )^{2}\\&{}=b^{2}-2ab\cos \gamma +a^{2}\cos ^{2}\gamma +a^{2}\sin ^{2}\gamma \\&{}=b^{2}+a^{2}-2ab\cos \gamma ,\end{aligned}}}

với lưu ý rằng

{\displaystyle \cos ^{2}\gamma +\sin ^{2}\gamma =1.\,}{\displaystyle \cos ^{2}\gamma +\sin ^{2}\gamma =1.\,}

Cũng từ Hình 6 ta có:

{\displaystyle \tan \alpha ={\frac {a\sin \gamma }{b-a\cos \gamma }}}{\displaystyle \tan \alpha ={\frac {a\sin \gamma }{b-a\cos \gamma }}}

Công thức này được dùng để tính một góc khi biết hai cạnh và góc xen giữa hai cạnh đó.

Sử dụng định lý Ptolemy

Chứng minh định lý cos bằng định lý Ptolemy

Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Dựng tam giác ABD bằng tam giác ABC với AD = BC và BD = AC. Hạ đường cao từ D và C, cắt AB lần lượt tại E và F. Ta có:

{\displaystyle {\begin{aligned}&BF=AE=BC\cos {\hat {B}}=a\cos {\hat {B}}\\\Rightarrow \ &DC=EF=AB-2BF=c-2a\cos {\hat {B}}.\end{aligned}}}{\displaystyle {\begin{aligned}&BF=AE=BC\cos {\hat {B}}=a\cos {\hat {B}}\\\Rightarrow \ &DC=EF=AB-2BF=c-2a\cos {\hat {B}}.\end{aligned}}}

Áp dụng định lý Ptolemy cho tứ giác nội tiếp ABCD:

{\displaystyle {\begin{aligned}&AD\times BC+AB\times DC=AC\times BD\\\Rightarrow \ &a^{2}+c(c-2a\cos {\hat {B}})=b^{2}\\\Rightarrow \ &a^{2}+c^{2}-2ac\cos {\hat {B}}=b^{2}.\end{aligned}}}{\displaystyle {\begin{aligned}&AD\times BC+AB\times DC=AC\times BD\\\Rightarrow \ &a^{2}+c(c-2a\cos {\hat {B}})=b^{2}\\\Rightarrow \ &a^{2}+c^{2}-2ac\cos {\hat {B}}=b^{2}.\end{aligned}}}

Trong tam giác cân

Trong tam giác cân, do a = b nsup> + b2 = 2a2 = 2ab}}:

{\displaystyle c^{2}=2a^{2}(1-\cos \gamma ).\;}{\displaystyle c^{2}=2a^{2}(1-\cos \gamma ).\;}

hay

{\displaystyle \cos \gamma =1-{\frac {c^{2}}{2a^{2}}}}{\displaystyle \cos \gamma =1-{\frac {c^{2}}{2a^{2}}}}

Sự tương đồng trong hình tứ diện

Cho một tứ diện với α, β, γ, δ là diện tích bốn mặt của tứ diện đó. Ký hiệu các góc nhị diện là {\displaystyle \scriptstyle {{\widehat {\beta \gamma }},}}{\displaystyle \scriptstyle {{\widehat {\beta \gamma }},}} và tương tự, ta có[2]

{\displaystyle \alpha ^{2}=\beta ^{2}+\gamma ^{2}+\delta ^{2}-2\left(\beta \gamma \cos \left({\widehat {\beta \gamma }}\right)+\gamma \delta \cos \left({\widehat {\gamma \delta }}\right)+\delta \beta \cos \left({\widehat {\delta \beta }}\right)\right).\,}{\displaystyle \alpha ^{2}=\beta ^{2}+\gamma ^{2}+\delta ^{2}-2\left(\beta \gamma \cos \left({\widehat {\beta \gamma }}\right)+\gamma \delta \cos \left({\widehat {\gamma \delta }}\right)+\delta \beta \cos \left({\widehat {\delta \beta }}\right)\right).\,}

 Ứng dụng

 Hình 3 – Ứng dụng của định lý cos: tìm cạnh chưa biết và góc chưa biết.
Định lý cos được dùng trong phép đạc tam giác để giải một tam giác hoặc một đường tròn. Ví dụ trong Hình 3, định lý cos được dùng để tìm:

 cạnh thứ ba của một tam giác nếu đã biết hai cạnh còn lại và góc giữa chúng:
{\displaystyle \,c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }}\,;}{\displaystyle \,c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }}\,;}
ba góc nếu biết ba cạnh của tam giác
{\displaystyle \,\gamma =\arccos \left({\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\right)\,;}{\displaystyle \,\gamma =\arccos \left({\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\right)\,;}
cạnh thứ ba nếu biết hai cạnh còn lại và góc đối diện một trong hai cạnh đó:
{\displaystyle \,a=b\cos \gamma \pm {\sqrt {c^{2}-b^{2}\sin ^{2}\gamma }}\,.}{\displaystyle \,a=b\cos \gamma \pm {\sqrt {c^{2}-b^{2}\sin ^{2}\gamma }}\,.}
Công thức thứ ba có được nhờ giải phương trình bậc hai a2 − 2ab cos γ + b2 − c2 = 0 với ẩn a. Phương trình này có hai nghiệm dương nếu b sin γ < c < b, một nghiệm dương nếu c ≥ b hoặc c = b sin γ, và vô nghiệm nếu c < b sin γ.

 Chứng minh
Sử dụng công thức tính khoảng cách
Trong hệ tọa độ Descartes, cho tam giác ABC có ba cạnh a, b, c và γ là góc đối diện cạnh c với tọa độ ba đỉnh lần lượt là

 {\displaystyle A=(b\cos \gamma ,\ b\sin \gamma ),\ B=(a,\ 0),\ C=(0,\ 0)\,.}{\displaystyle A=(b\cos \gamma ,\ b\sin \gamma ),\ B=(a,\ 0),\ C=(0,\ 0)\,.}
Sử dụng công thức tính khoảng cách, ta có

 {\displaystyle c={\sqrt {(a-b\cos \gamma )^{2}+(0-b\sin \gamma )^{2}}}\,.}{\displaystyle c={\sqrt {(a-b\cos \gamma )^{2}+(0-b\sin \gamma )^{2}}}\,.}
do đó

 {\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&{}=(a-b\cos \gamma )^{2}+(-b\sin \gamma )^{2}\\c^{2}&{}=a^{2}-2ab\cos \gamma +b^{2}\cos ^{2}\gamma +b^{2}\sin ^{2}\gamma \\c^{2}&{}=a^{2}+b^{2}(\sin ^{2}\gamma +\cos ^{2}\gamma )-2ab\cos \gamma \\c^{2}&{}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma \,.\end{aligned}}}{\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&{}=(a-b\cos \gamma )^{2}+(-b\sin \gamma )^{2}\\c^{2}&{}=a^{2}-2ab\cos \gamma +b^{2}\cos ^{2}\gamma +b^{2}\sin ^{2}\gamma \\c^{2}&{}=a^{2}+b^{2}(\sin ^{2}\gamma +\cos ^{2}\gamma )-2ab\cos \gamma \\c^{2}&{}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma \,.\end{aligned}}}
Công thức này sử dụng được cả trường hợp tam giác nhọn và tam giác tù.

 Sử dụng công thức lượng giác

 Hình 4 – Tam giác nhọn và đường cao
Hạ đường cao tương ứng với cạnh c như hình 4 ta có

 {\displaystyle c=a\cos \beta +b\cos \alpha \,.}{\displaystyle c=a\cos \beta +b\cos \alpha \,.}
(Công thức trên vẫn đúng nếu α hoặc β là góc tù, khi đó đường cao nằm ngoài tam giác và cos α hoặc cos β mang dấu âm). Nhân hai vế với c ta được

 {\displaystyle c^{2}=ac\cos \beta +bc\cos \alpha .\,}{\displaystyle c^{2}=ac\cos \beta +bc\cos \alpha .\,}
Tương tự ta có

 {\displaystyle a^{2}=ac\cos \beta +ab\cos \gamma ,\,}{\displaystyle a^{2}=ac\cos \beta +ab\cos \gamma ,\,}
{\displaystyle b^{2}=bc\cos \alpha +ab\cos \gamma .\,}{\displaystyle b^{2}=bc\cos \alpha +ab\cos \gamma .\,}
Cộng vế theo vế hai phương trình sau ta có

 {\displaystyle a^{2}+b^{2}=ac\cos \beta +bc\cos \alpha +2ab\cos \gamma .\,}{\displaystyle a^{2}+b^{2}=ac\cos \beta +bc\cos \alpha +2ab\cos \gamma .\,}
Trừ vế theo vế phương trình đầu ta có

 {\displaystyle a^{2}+b^{2}-c^{2}=-ac\cos \beta -bc\cos \alpha +ac\cos \beta +bc\cos \alpha +2ab\cos \gamma \,}{\displaystyle a^{2}+b^{2}-c^{2}=-ac\cos \beta -bc\cos \alpha +ac\cos \beta +bc\cos \alpha +2ab\cos \gamma \,}
đơn giản còn

 {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma .\,}{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma .\,}
Sử dụng định lý Pytago

 Hình 5 – Tam giác tù ABC với đường cao BH
Trường hợp tam giác tù. Euclid chứng minh đinh lý bằng cách áp dụng Định lý Pytago cho hai tam giác vuông trong Hình 5. Đặt CH = d và BH = h, trong tam giác AHB ta có

 {\displaystyle c^{2}=(b+d)^{2}+h^{2},\,}{\displaystyle c^{2}=(b+d)^{2}+h^{2},\,}
và trong tam giác CHB ta có

 {\displaystyle d^{2}+h^{2}=a^{2}.\,}{\displaystyle d^{2}+h^{2}=a^{2}.\,}
Khai triển đa thức phương trình đầu tiên:

 {\displaystyle c^{2}=b^{2}+2bd+d^{2}+h^{2}.\,}{\displaystyle c^{2}=b^{2}+2bd+d^{2}+h^{2}.\,}
thế phương trình thứ hai vào:

 {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}+2bd.\,}{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}+2bd.\,}
Đây là mệnh đề 12 của Euclid trong tập 2 của bộ Cơ sở.[1] Chú ý rằng

 {\displaystyle d=a\cos(\pi -\gamma )=-a\cos \gamma .\,}{\displaystyle d=a\cos(\pi -\gamma )=-a\cos \gamma .\,}
Trường hợp tam giác nhọn. Được chứng minh trong mệnh đề 13 của Euclid ngay sau mệnh đề 12: ông áp dụng Định lý Pytago cho hai tam giác vuông có được bằng cách kẻ đường cao tương ứng với một trong hai cạnh kề góc γ và đơn giản bằng nhị thức.

  Hình 6 – Chứng minh bằng lượng giác trong trường hợp tam giác nhọn
Cách khác trong trường hợp tam giác nhọn. Dựa vào Hình 6 ta có:

 {\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&{}=(b-a\cos \gamma )^{2}+(a\sin \gamma )^{2}\\&{}=b^{2}-2ab\cos \gamma +a^{2}\cos ^{2}\gamma +a^{2}\sin ^{2}\gamma \\&{}=b^{2}+a^{2}-2ab\cos \gamma ,\end{aligned}}}{\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&{}=(b-a\cos \gamma )^{2}+(a\sin \gamma )^{2}\\&{}=b^{2}-2ab\cos \gamma +a^{2}\cos ^{2}\gamma +a^{2}\sin ^{2}\gamma \\&{}=b^{2}+a^{2}-2ab\cos \gamma ,\end{aligned}}}
với lưu ý rằng

 {\displaystyle \cos ^{2}\gamma +\sin ^{2}\gamma =1.\,}{\displaystyle \cos ^{2}\gamma +\sin ^{2}\gamma =1.\,}
Cũng từ Hình 6 ta có:

 {\displaystyle \tan \alpha ={\frac {a\sin \gamma }{b-a\cos \gamma }}}{\displaystyle \tan \alpha ={\frac {a\sin \gamma }{b-a\cos \gamma }}}
Công thức này được dùng để tính một góc khi biết hai cạnh và góc xen giữa hai cạnh đó.

 Sử dụng định lý Ptolemy

 Chứng minh định lý cos bằng định lý Ptolemy
Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Dựng tam giác ABD bằng tam giác ABC với AD = BC và BD = AC. Hạ đường cao từ D và C, cắt AB lần lượt tại E và F. Ta có:

 {\displaystyle {\begin{aligned}&BF=AE=BC\cos {\hat {B}}=a\cos {\hat {B}}\\\Rightarrow \ &DC=EF=AB-2BF=c-2a\cos {\hat {B}}.\end{aligned}}}{\displaystyle {\begin{aligned}&BF=AE=BC\cos {\hat {B}}=a\cos {\hat {B}}\\\Rightarrow \ &DC=EF=AB-2BF=c-2a\cos {\hat {B}}.\end{aligned}}}
Áp dụng định lý Ptolemy cho tứ giác nội tiếp ABCD:

 {\displaystyle {\begin{aligned}&AD\times BC+AB\times DC=AC\times BD\\\Rightarrow \ &a^{2}+c(c-2a\cos {\hat {B}})=b^{2}\\\Rightarrow \ &a^{2}+c^{2}-2ac\cos {\hat {B}}=b^{2}.\end{aligned}}}{\displaystyle {\begin{aligned}&AD\times BC+AB\times DC=AC\times BD\\\Rightarrow \ &a^{2}+c(c-2a\cos {\hat {B}})=b^{2}\\\Rightarrow \ &a^{2}+c^{2}-2ac\cos {\hat {B}}=b^{2}.\end{aligned}}}
Trong tam giác cân
Trong tam giác cân, do a = b nsup> + b2 = 2a2 = 2ab}}:

 {\displaystyle c^{2}=2a^{2}(1-\cos \gamma ).\;}{\displaystyle c^{2}=2a^{2}(1-\cos \gamma ).\;}
hay

 {\displaystyle \cos \gamma =1-{\frac {c^{2}}{2a^{2}}}}{\displaystyle \cos \gamma =1-{\frac {c^{2}}{2a^{2}}}}
Sự tương đồng trong hình tứ diện
Cho một tứ diện với α, β, γ, δ là diện tích bốn mặt của tứ diện đó. Ký hiệu các góc nhị diện là {\displaystyle \scriptstyle {{\widehat {\beta \gamma }},}}{\displaystyle \scriptstyle {{\widehat {\beta \gamma }},}} và tương tự, ta có[2]

 {\displaystyle \alpha ^{2}=\beta ^{2}+\gamma ^{2}+\delta ^{2}-2\left(\beta \gamma \cos \left({\widehat {\beta \gamma }}\right)+\gamma \delta \cos \left({\widehat {\gamma \delta }}\right)+\delta \beta \cos \left({\widehat {\delta \beta }}\right)\right).\,}{\displaystyle \alpha ^{2}=\beta ^{2}+\gamma ^{2}+\delta ^{2}-2\left(\beta \gamma \cos \left({\widehat {\beta \gamma }}\right)+\gamma \delta \cos \left({\widehat {\gamma \delta }}\right)+\delta \beta \cos \left({\widehat {\delta \beta }}\right)\right).\,}