Công thức tính vecto pháp tuyến

Pháp tuyến là gì

Trong hình học, pháp tuyến (hay trực giao) là một đối tượng như đường thẳng, tia hoặc vectơ, vuông góc với một đối tượng nhất định. Ví dụ, trong hai chiều, đường pháp tuyến của một đường cong tại một điểm nhất định là đường thẳng vuông góc với đường tiếp tuyến với đường cong tại điểm đó. Một vectơ pháp tuyến có thể có chiều dài bằng một (một vectơ pháp tuyến đơn vị) hoặc không. Dấu đại số của nó có thể biểu thị hai phía của bề mặt (bên trong hoặc bên ngoài).

Vecto pháp tuyến là gì

Vectơ $\vec{u}$ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng $Δ$ nếu $\vec{u} \neq \vec{0}$ và giá của $\vec{u}$ song song hoặc trùng với

A. Phương pháp giải

QUẢNG CÁO

Cho đường thẳng d: ax + by + c= 0. Khi đó, một vecto pháp tuyến của đường thẳng d là n→( a;b).

Một điểm M(x0; y0) thuộc đường thẳng d nếu: ax0 + by0 + c = 0.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Vectơ pháp tuyến của đường thẳng 2x- 3y+ 7= 0 là :

A. n4→ = (2; -3) B. n2→ = (2; 3) C. n3→ = (3; 2) D. n1→ = (-3; 2)

Lời giải

Cho đường thẳng d: ax + by + c= 0. Khi đó; đường thẳng d nhận vecto ( a; b) làm VTPT.

⇒ đường thẳng d nhận vecto n→( 2;-3) là VTPT.

Chọn A.

Ví dụ 2. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng song song với trục Ox?

A. n→( 1; 1) B. n→( 0; -1) C. n→(1; 0) D. n→( -1; 1)

Lời giải

Đường thẳng song song với Ox có phương trình là : y + m= 0 ( với m ≠ 0) .

Đường thẳng này nhận vecto n→( 0; 1) làm VTPT.

Suy ra vecto n’→( 0; -1 ) cũng là VTPT của đường thẳng( hai vecto n→ và n’→ là cùng phương) .

Chọn B.

QUẢNG CÁO

Ví dụ 3: Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng song song với trục Oy?

A. n→( 1; 1) B. n→( 0; -1) C. n→(2; 0) D. n→( -1; 1)

Lời giải

Đường thẳng song song với Oy có phương trình là : x + m= 0 ( với m ≠ 0) .

Đường thẳng này nhận vecto n→(1;0) làm VTPT.

Suy ra vecto n’→( 2; 0 ) cũng là VTPT của đường thẳng( hai vecto n→ và n’→ là cùng phương) .

Chọn D.

Ví dụ 4. Cho đường thẳng ∆: x- 3y- 2= 0. Vectơ nào sau đây không phải là vectơ pháp tuyến của ∆?

A. n1→ = (1; -3) . B. n2→ = (-2; 6) . C. n3→ = (Cách tìm vecto pháp tuyến của đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ; -1). D. n4→ = (3; 1).

Lời giải

Một đường thẳng có vô số VTPT và các vecto đó cùng phương với nhau.

Nếu vecto n→ ≠ 0→ là một VTPT của đường thẳng ∆ thì k.n→ cũng là VTPT của đường thẳng ∆.

∆ : x – 3y – 2 = 0 → nd→ = (1; -3) → Cách tìm vecto pháp tuyến của đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

=> Vecto ( 3; 1) không là VTPT của đường thẳng ∆.

Chọn D

Ví dụ 5. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của đường phân giác góc phần tư thứ hai?

A. n→( 1; 1) B. n→(0; 1) C. n→(1;0) D. n→( 1; -1)

Lời giải

Đường phân giác của góc phần tư (II) có phương trình là x + y= 0. Đường thẳng này có VTPT là n→( 1; 1)

Chọn A.

QUẢNG CÁO

Ví dụ 6. Một đường thẳng có bao nhiêu vectơ pháp tuyến?

A. 1. B. 2. C. 4. D. Vô số.

Lời giải

Một đường thẳng có vô số vecto pháp tuyến. Các vecto đó cùng phương với nhau.

Chọn D.

Ví dụ 7. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của d: 2x- 19y+ 2098= 0?

A. n1→ = (2;0). B. n1→ = (2;2098) C. n1→ = (2; -19) D. n1→ = (-19;2098)

Lời giải

Đường thẳng ax+ by+ c= 0 có VTPT là n→( a; b) .

Do đó; đường thẳng d có VTPT n→( 2; -19).

Chọn C.

Ví dụ 8: Cho đường thẳng d: x- 2y + 3 = 0. Hỏi đường thẳng d đi qua điểm nào trong các điểm sau?

A. A(3; 0) B. B(1;2) C. C(1;2) D. D(2;-1)

Lời giải

Ta xét các phương án :

+ Thay tọa độ điểm A ta có: 3 – 2.0 + 3 = 0 vô lí

⇒ Điểm A không thuộc đường thẳng d.

+ thay tọa độ điểm B ta có: 1 – 2.2 + 3 = 0

⇒ Điểm B thuộc đường thẳng d.

+ Tương tự ta có điểm C và D không thuộc đường thẳng d.

Chọn B.

Ví dụ 9: Cho đường thẳng d: 2x – 3y + 6 = 0. Điểm nào không thuộc đường thẳng d?

A. A(- 3;0) B. B(0;2) C. (3;4) D. D(1;2)

Lời giải

+ Thay tọa độ điểm A ta được: 2.(-3) – 3.0 + 6 = 0

⇒ Điểm A thuộc đường thẳng d.

+ Thay tọa độ điểm B ta được: 2.0 – 3.2 + 6 = 0

⇒ Điểm B thuộc đường thẳng d.

+ Thay tọa độ điểm C ta có: 2.3 – 3.4 + 6 = 0

⇒ Điểm C thuộc đường thẳng d.

+ Thay tọa độ điểm D ta được : 2.1 – 3.2 + 6 = 2 ≠ 0

⇒ Điểm D không thuộc đường thẳng d.

Chọn D

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho đường thẳng d: 2x + 3y – 8 = 0. Trong các vecto sau; vecto nào không là VTPT của đường thẳng d?

A. n1→( 4; 6) B. n2→(-2;-3) C. n3→( 4; -6) D. n4→(-6;-9)

Hiển thị lời giải

Câu 2: Cho đường thẳng d: Cách tìm vecto pháp tuyến của đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án = 1. Tìm vecto pháp tuyến của đường thẳng d?

A. n→( 2;3) B. n→( 3;2) C. n→( 2; -3) D. n→( -2;3)

Hiển thị lời giải

Câu 3: Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của d: x – 4y + 2018 = 0

A. n1→ = (1; 4). B. n1→ = (4;1) C. n1→ = (2;8) D. n1→ = (-2;8)

Hiển thị lời giải

Câu 4: Cho đường thẳng d: 3x + 5y + 2018 = 0. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A. d có vectơ pháp tuyến n→ = (3; 5)

B. d có vectơ chỉ phương u→ = (5; -3)

C. d có hệ số góc k = Cách tìm vecto pháp tuyến của đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án

D. d song song với đường thẳng ∆ : 3x + 5y + 9080 = 0.

Hiển thị lời giải

Câu 5: Đường thẳng d: 12x – 7y + 5 = 0 không đi qua điểm nào sau đây?

A. M(1; 1) B. N( -1; -1) C. P(- Cách tìm vecto pháp tuyến của đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ; 0) D. Q(1; Cách tìm vecto pháp tuyến của đường thẳng | Bài tập Toán lớp 10 chọn lọc có đáp án ) .

Hiển thị lời giải

Câu 6: Cho tam giác ABC vuông tại A có A( 1; 2) ; B( 2;4). Tìm một VTPT của đường thẳng AC?

A. n→( 1; -2) B. n→( 2; 4) C. n→(-2; 1) D. n→(2; 1)

Hiển thị lời giải

Câu 7: Cho tam giác ABC cân tại A. Biết A( 1; -4) và M( -2; 3) là trung điểm của BC. Tìm một VTPT của đường thẳng BC?

A. n→( 1; -4) B. n→( 3;5) C. n→(3;-7) D. n→(5;-3)

Hiển thị lời giải

Câu 8: Cho đường thẳng d: 2x – 5y – 10 = 0. Trong các điểm sau; điểm nào không thuộc đường thẳng d?

A. A(5; 0) B. B(0; -2) C. C(-5; -4) D. D(-2; 3)

Công thức tính vecto pháp tuyến

1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

* Cho mặt phẳng (P) , vectơ $\vec{n} \neq \vec{0}$ mà giá của nó vuông góc với mặt phẳng (P) thì $\vec{n}$ được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

* Cho mặt phẳng (P) , cặp vectơ $\vec{a} \neq \vec{0}$ , $\vec{b} \neq \vec{0}$ không cùng phương mà giá của chúng là hai đường thẳng song song hay nằm trong mặt phẳng (P) được gọi là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (P). Khi đó vectơ $\vec{n} = [\vec{a} . \vec{b}]$ . là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

* Nếu $\vec{a}$ = (a₁; a₂; a₃) , $\vec{b}$ = (b₁ ; b₂ ; b₃) thì :

$\vec{n} = [\vec{a} . \vec{b}] = (| \begin{matrix} a_{2} & a_{3} \\ b_{2} & b_{3} \end{matrix} |; | \begin{matrix} a_{3} & a_{1} \\ b_{3} & b_{1} \end{matrix} |; | \begin{matrix} a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{matrix} |)$

= (a₂b₃ – a₃b₂; a₃b₁ – a₁b₃ ; a₁b₂ – a₂b₁).

* Mặt phẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của nó, hay một điểm thuộc mặt phẳng và cặp vectơ chỉ phương của nó.

2. Phương trình mặt phẳng

* Mặt phẳng (P) qua điểm M₀(x₀ ; y₀; z₀) và nhận $\vec{n}$ (A, B, C) làm vectơ pháp tuyến có phương trình có dạng: A(x – x₀) + B(y – y₀) + C(z – z₀) = 0

* Mọi mặt phẳng trong không gian có phương trình tổng quát có dạng :

Ax + By + Cz +D = 0 ở đó A²+ B² + C² > 0.

Khi đó vectơ $\vec{n}$ (A ; B ; C) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

* Mặt phẳng đi qua ba điểm M(a ; 0 ; 0), N( 0 ; b ; 0), C(0 ; 0 ; c) ở đó abc ≠ 0 có phương trình : $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ . Phương trình này còn được gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắ

3. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng.

Cho hai mặt phẳng (P₁) và (P₂) có phương trình :

(P₁) : A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0;

(P₂) : A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0.

Ta có $\vec{n_{1}}$ (A₁; B₁ ; C₁) ⊥ (P₁) và $\vec{n_{2}}$ (A₂; B₂ ; C₂) ⊥ (P₂) . Khi đó:

(P₁) ⊥ (P₂) ⇔ $\vec{n_{1}} ⊥ \vec{n_{2}}$ ⇔ $\vec{n_{1}} . \vec{n_{2}}$ ⇔ A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂ = 0

(P₁) // (P₂) ⇔ $\vec{n_{1}} = k . \vec{n_{2}}$ và D₁ ≠ k.D₂ (k ≠ 0).

(P₁) ≡ (P₂) ⇔ $\vec{n_{1}} = k . \vec{n_{2}}$ và D₁ = k.D_2.

(P₁) cắt (P₂) ⇔ $\vec{n_{1}} \neq k . \vec{n_{2}}$ (nghĩa là $\vec{n_{1}}$ và $\vec{n_{2}}$ không cùng phương).

4. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P) có phương trình:

Ax + By + Cz +D = 0 và điểm M₀(x₀ ; y₀; z₀). Khoảng cách từ M₀đến (P) được cho bởi công thức:

$d (M_{0}, P) = \frac{| A x_{0} + B y_{0} + C z_{0} + D |}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}$ .

5. Góc giữa hai mặt phẳng.

Cho hai mặt phẳng (P₁) và (P₂) có phương trình :

(P₁) : A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0;

(P₂) : A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0.

Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (P₁) và (P₂) thì 0 ≤ φ ≤ 90⁰và :

$c o s φ = | c o s \hat{(\vec{n_{1}}, \vec{n_{2}})} | = \frac{| A_{1} A_{2} + B_{1} B_{2} + C_{1} C_{2} + D |}{\sqrt{A_{1}^{2} + B_{1}^{2} + C_{1}^{2}} . \sqrt{A_{2}^{2} + B_{2}^{2} + C_{2}^{2}}}$

Vecto chỉ phương và vecto pháp tuyến

tag: chuyển sang gia tốc vector đổi hóa quanh việc véc tơ viết ném ngang diện tích s khấu hao