Trong môn đại số đặc biệt khi giải phương trình đa thức thì định luật Viét là một công cụ cực kỳ hữu ích giúp ta thiết lập mối liên hệ trực tiếp giữa các hệ số của đa thức với tổng hay tích các nghiệm mà không cần phải tìm nghiệm cụ thể. Bài viết này sẽ giới thiệu khái niệm với phát biểu tổng quát với cả cách áp dụng vào phương trình bậc hai với bậc cao cùng các ví dụ minh họa thực tế.
Định nghĩa phát biểu tổng quát
Định luật Viét phát biểu rằng với một đa thức bậc n có dạng
P(x) = aₙ xⁿ + aₙ₋₁ xⁿ⁻¹ + … + a₁ x + a₀
Có n nghiệm là r₁, r₂, …, rₙ có thể phức thì tổng với tích các nghiệm có mối quan hệ rõ ràng với các hệ số của đa thức. Cụ thể tổng nghiệm bằng -aₙ₋₁ chia cho aₙ với tích tất cả nghiệm bằng (-1)ⁿ lần a₀ chia cho aₙ. Ngoài ra các tổng tích kết hợp theo từng nhóm cũng tuân theo công thức tổng quát.
Phát biểu tổng quát quy định rằng tổng tất cả tích của k nghiệm bất kỳ bằng (-1)^k lần hệ số aₙ₋ₖ chia cho aₙ. Sự liên hệ này giúp ta biết được một số đại lượng liên quan đến nghiệm mà không cần phải giải phương trình.
Áp dụng vào phương trình bậc hai
Đối với phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 có hai nghiệm x₁ với x₂ thì định luật Viét thể hiện qua hai hệ thức đơn giản là tổng hai nghiệm với tích hai nghiệm. Tổng nghiệm bằng -b chia cho a, tích nghiệm bằng c chia cho a. Là hai công thức quan trọng giúp ta kiểm tra tính hợp lý của nghiệm với tính nhẩm nhanh nghiệm khi có điều kiện thêm hay giải bài toán về tổng tích các nghiệm.
Ví dụ khi giải một bài toán yêu cầu tìm hai số có tổng với tích cho trước ta chỉ cần viết phương trình x² – Sx + P = 0 áp dụng định luật Viét là có thể tìm nghiệm mà không cần các bước giải phức tạp khác.
Áp dụng vào phương trình bậc cao
Với phương trình bậc ba ax³ + bx² + cx + d = 0 có ba nghiệm x₁, x₂, x₃, định luật Viét cho ta ba mối quan hệ như tổng ba nghiệm, tổng tích của từng cặp nghiệm với tích cả ba nghiệm thì tất cả đều liên quan trực tiếp đến hệ số a, b, c, d. Giúp phân tích tính chất nghiệm mà không cần giải chi tiết.
Khi mở rộng lên bậc n định luật vẫn áp dụng đúng với các mối quan hệ cấp cao hơn. Ví dụ tổng các tích của ba nghiệm, bốn nghiệm… đều được xác định theo công thức tổng quát mà định luật cung cấp.
Một số ứng dụng cụ thể
Giải bài toán tổng tích nghiệm
Khi yêu cầu tìm tổng với tích nghiệm của phương trình thuần túy. Áp dụng định luật Viét giúp ta có ngay đáp án mà không cần giải phương trình. Nó đặc biệt hữu ích trong các bài kiểm tra, kỳ thi hay bài toán yêu cầu nhanh.
Kiểm tra nghiệm ẩn
Nếu biết một giá trị là nghiệm của đa thức nhưng không biết nghiệm còn lại định luật Viét giúp tìm phần còn lại dựa trên tổng hay tích đã tính trước.
Chứng minh bất đẳng thức
Trong nhiều bài toán biểu thức đối xứng của nghiệm được viết dưới dạng tổng tích nghiệm. Nhờ định luật Viét ta có thể chuyển biểu thức phức thành dạng liên hệ với hệ số từ đó áp dụng bất đẳng thức hay tính chất đại số để chứng minh.
Ứng dụng trong mô hình thực tế
Định luật Viét còn được áp dụng trong các mô hình kỹ thuật hay kinh tế hay vật liệu, nơi nghiệm của phương trình biểu diễn các giá trị đặc trưng như tần số dao động, hệ số kháng, thông số đặc tính khác. Khi biết các hệ số đại diện cho đặc tính ta có thể suy ra tổng hay tích của các nghiệm để phân tích hệ thống mà không cần giải nghiệm chi tiết.
Ví dụ minh họa
1 Giả sử phương trình x² – 5x + 6 = 0 có nghiệm x₁, x₂. Ta có tổng r = 5 với tích p = 6. Từ đó dễ dàng suy ra hai nghiệm là 2 với 3.
2 Với phương trình 2x² + 3x – 5 = 0 tổng nghiệm bằng -3/2 với tích nghiệm bằng -5/2. Dù không biết nghiệm cụ thể ta vẫn có thể sử dụng các đại lượng này để tính biểu thức liên quan đến nghiệm chẳng hạn x₁² + x₂² hay 1/x₁ + 1/x₂.
3 Đối với phương trình bậc ba x³ – 6x² + 11x – 6 = 0 tổng ba nghiệm bằng 6 còn tổng tích của từng hai nghiệm là 11, tích ba nghiệm là 6. Nhờ đó ta có thể xây dựng các hệ thống đại số mà không cần giải nghiệm.
Lợi ích giới hạn
Lợi ích chính là giúp tiết kiệm thời gian đơn giản hóa bài toán khi chỉ cần biết mối quan hệ giữa nghiệm với hệ số. Tuy nhiên định luật Viét không cho biết nghiệm cụ thể chỉ cung cấp thông tin về tổng tích kết hợp. Nếu cần giá trị chính xác của nghiệm thì vẫn phải giải phương trình hay dùng phương pháp số.
Ngoài ra định luật chỉ áp dụng khi hệ số với nghiệm phân tích được rõ ràng. Trong các trường hợp phương trình không có nghiệm thực hay nghiệm phức, các đại lượng tổng tích nghiệm vẫn áp dụng nhưng cần chú ý giải thích theo lĩnh vực số phức.
Định luật Viét là một trong những công cụ đơn giản nhưng bền vững rất hiệu quả trong đại số. Giúp ta nhanh chóng xác định quan hệ giữa nghiệm với hệ số của phương trình mà không cần đi qua các bước giải nghiệm phức tạp. Ứng dụng rộng rãi từ giảng dạy rồi thi cử đến nghiên cứu khoa học với lĩnh vực kỹ thuật. Việc hiểu rõ với vận dụng định luật Viét đúng cách mở ra khả năng tư duy linh hoạt xử lý bài toán nhanh chính xác. Dù đơn giản định luật này vẫn là chìa khóa mở nhiều bài toán thú vị rất thiết thực trong toán học cùng cuộc sống.
Từ khóa vi ét viet định luật vi ét